Билет 1. 1) Привести к каноническому виду Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип гиперболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

Все вторые производные, кроме сократились, что соответствует каноническому виду. Один из подводных камней при вычислениях – это коэффициент перед ним в общей формуле стоит 2, что нельзя забывать. Я три раза пересчитывал, силясь понять, что не так. 2) Условия разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа В общем случае задача Неймана – , где – функция, определённая на поверхности l, а n – внешняя нормаль. Она разрешима в общем случае, если Даны задачи:

Для чётной степени: Для нечётной степени: Проинтегрируем от 0 до 2π по φ значит условие разрешимости не выполняется. (едрить он монстр, общую формулу понижения степени заставил найти). Если ничего непонятно, то напиши мне. Я вставлю всю формулу в общем виде. это количество сочетаний из p по k. значит условие разрешимости выполняется.

Билет 2.

1) Привести к каноническому виду Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип параболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае Имеем только одно семейство характеристик. Тогда выберем произвольную функцию, линейно независимую с . Пусть (Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы, что мы и видим в системе ) Найдём производные от новых переменных

Все вторые производные, кроме сократились, что соответствует каноническому виду. 2) Решить смешанную задачу (судя по всему, билеты изменили) Решение задачи может быть получено из решения, найденного для задачи . Для этого продолжим функцию нечётным образом. Сама функция является нечётной. Будем решать задачу . Формула Даламбера: значит, решение Если хочешь подробнее, то в билете 6 2^ая задача.

Билет 3. 1) Привести к каноническому виду Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип эллиптический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае Найдём производные от новых переменных

Все вторые производные, кроме сократились, что соответствует каноническому виду. 2) Решить в области гиперболичности Чтобы уравнение было гиперболическим, необходимо, чтобы выполнялось D>0 , значит y<0 ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

Билет 4. 1) Задача Коши для колебания бесконечной струны. (здесь производная по t)

Приведём к каноническому виду. Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип гиперболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

Нач. условия t=0 Перепишем систему, учитывая, что Теперь эту систему можно решить. Решим в общем виде. Для всех t 2)Принцип максимума для гармонических функций в области.

Ω – это область в трёхмерном пространстве, ∑ - её поверхность, граница.

Думаю, тут всё понятно. Выбираем крайнюю точку для области максимума в области Ω функции.

С другой стороны, по известной формуле среднего значения, для любой гармонической функции, среднее значение этой функции на сфере ∑_R равно значению гармонической функции в центре этой сферы, точке М₀. Это выражается формулой:

Преобразуем формулу

Как-то так. Если ты считаешь, что недостаточно подробно и препод не примет, то напиши мне, я дополню.